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これまでに事前・事後確率についての問題を2つ扱いました。
今回は特にベイズの定理について焦点を当てて、その代表的な問題をいくつか取り上げたいと思います。

いままでの話に比べると格段にややこしくなるので、まずは以前の記事から読まれることをオススメします。(できるだけ平易な表現を心がけますが、今回はちょっと難しいです)
参照:>>モンティ・ホール問題
    >>三人の殺し屋問題

まずは簡単な例題です。

■さいころ問題
Aがさいころを2回振って出た目を記録する。
この場合、2の目が出る確率はいくらか。

答え:11/36=(6×6-5×5)/6×6事前確率

次にAが「出た目の和は6だった」というヒント=情報を与える。
この場合、2の出た確率はいくらとなるか。

答え:2/5=(1.5)(5.1)(2.4)(4.2)(3.3)の5通りのうちの2つ事後確率

情報量の差が確率の差となって現れています。物事を知る順序も大切です。

次もまだまだ直感的に理解できる問題です。

三囚人問題
3人の囚人が明日処刑されることになっている。
しかし特別に1人だけ恩赦で助かることになった。誰が恩赦になるのかは決定されたが、囚人達はまだ誰が助かるのかは知らない。

すると結果を知っている看守に、囚人Aが言った。
「3人のうち2人は必ず処刑される。つまりBかCのいずれかは必ず死ぬわけだから、処刑される方の名前を教えてくれないか。」

看守はその言い分に納得して、
「囚人Bは処刑されることになっている」と教えた。

すると囚人Aは、
「最初私の助かる確率は1/3だった。いまでは助かるのは私かCのいずれかだから、助かる確率は1/2になった」
と喜んだ。

果たして囚人Aの反応は正しいだろうか。



↓↓



言葉で説明するのが難しい問題です。

直感的な理解としては、「3人のうち自分が助かる確率は1/3→2人のうち自分が助かる確率は1/2」になったというのが一見妥当に見えます。

いままでのモンティホール問題、三人の殺し屋問題では数学的な考え方を避けてきましたが、今回はベイズの定理を使って考えてみたいと思います。

続きます
>>ベイズの定理 2
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前回の記事 ベイズの定理

ベイズの定理とは、ある結果が得られた時、その結果の下での事後確率を求めるための考え方です。式で表すとこんな感じです。

事象Bが発生する確率:P(B)=事前確率
事象Aが起きた後での、事象Bの確率:P(B|A)=事後確率
とする。このときP(A) > 0 なら、

P(B|A)=P(A∩B)/P(A) ←ベイズの定理
=P(B)×P(B|A)/P(B)×P(B|A)+P(B^)×P(A|B^)

ベイズの定理は、ある前提条件の下で結果が生まれる場合、逆に結果から前提条件がどのような確率で起こっていたかを推測する方法として使われます。

簡単に表せば、
何も情報がないままの確率=P(B)=事前確率
Bが起こったのでAの起こった確率も再評価=P(A|B)=事後確率
ということになります。

三囚人問題では、「Bが処刑されると看守が言った」という事象の下で「Aが恩赦になる」という事象が発生する確率=Aが助かる確率ということになります。

計算するとこんな感じです↓
P(Aが恩赦になる|看守が「B処刑」と言う)
=(Aが恩赦になる場合に看守がB処刑と言う確率)÷{((AorCが恩赦になる場合に看守がB処刑と言う確率)+(Cが恩赦になる場合に看守がB処刑と言う確率)}
=(1/3×1/2)/(1/3×1/2)+(2/3×1/2)
=1/3

ここから、Aの助かる確率は1/3で変わらないことがわかります。情報量の差が事後確率に影響を与えない例です。
三囚人問題も式で表すと難しく見えますが、まだまだ直感的に理解できる範囲です。

次の問題は直感と実際の確率にズレが出る問題かもしれません。

感染者問題
ある疾病に罹患している割合は1000人に50人と考えられている。
しかしこの病気の感染を調べる検査は不完全なため、感染している人の80%には陽性反応がでるが、感染していない人の15%に対しても同じように陽性と診断してしまう。
いまある人が検査を受けたところ陽性反応が出た。
この人が実際に感染している確率はいくらになるだろうか。

一見すると「感染していれば80%の確率で陽性→ほとんどの場合実際に感染している」ように思います。
しかしこれは事前確率を無視した、直感的な考えです。
実際に計算してみると、たとえ陽性反応が出てもその人が本当に感染している確率は22%程度であることが判ります。

これでは検査自体に意味がないといわれても仕方がありません。
一部の訪問販売や占いなどは、事前確率に意図的に触れないままで話を進めようとします。それとどこか似ていますね。

続きます
>>ベイズの定理 3
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