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「ラマヌジャンの『発見』と擬テータ関数」

今日は数学史上最も異質な天才とされるインドの魔術師・シュリニバーサ=ラマヌジャンのお話です。

「アインシュタインがいなくても相対性理論は発見されていただろうが、ラマヌジャンがいなければ彼の公式の大半は今でも見つかっていなかっただろう」

こうまで評される彼の業績は最近になってようやく理解されるようになって来ました。時代が少しずつ天才に追いついてきたのです。
今日はラマヌジャンが発見される過程と、現代物理学の最先端分野の1つ、大統一理論(=自然界に存在する力を統一して記述する万物の理論)への道を開いたとも言われる「擬テータ関数」に関する話をあわせてご紹介したいと思います。

1887年、ラマヌジャンは南インドの貧しい家庭に生まれました。
敬虔なヒンドゥー教徒である母親の下で育った彼は、非常に繊細で信心深い少年として成長します。その「頑固でエキセントリックな性格」は折り紙つきで、生まれて3年間以上一言も話さなかったり、学校でも数学以外の教科はまともに学ばなかったりと、いわゆる普通ではない雰囲気をまとっていたといいます。
Srinivasa Aiyangar Ramanujan

そんなラマヌジャンの人生を決定付けたのが、15歳の時に出会った「数学基礎要覧」という本です。この初等数学に関する本だけを頼りに、彼はほとんど独学で数学を習得。持っているノートに「夢に出てきた」公式を書き留めていきました。

研究に没頭するあまりまともな収入を得られないラマヌジャンでしたが、なんとか地元の港湾局に職を探し当てます。そこでは上司の理解に恵まれてさらに研究を積み重ねます。
しかし、当時のインドの数学界ではラマヌジャンの研究成果を理解することができませんでした。そこで1913年、彼はイギリスの3人の著名な大数学者宛てに自分の研究を載せた手紙を送ります。

大学にも行っていないインドの田舎事務員が、やたらめったら数式を書き込んだ手紙をよこした ― 3人のうちの2人は当然その手紙を無視しました。

しかし残りの1人、ゴッドフレイ=ハロルド=ハーディは違いました。彼は何の気もなくただ書き並べられた数式に目を留めただけでなく、さらにありえないことに、その検証を行ってみる気になったのです。
(ハーディが大好きなクリケットの試合結果を載せた新聞ではなく、全く面識のないインドの青年からの手紙を読んでみる気になった時点で既に奇跡的な出来事だったのです)

一週間後、ハーディとその友人の数学者・リトルウッドは1つの結論に達します。
「これは本物の天才だ」、と。

ラマヌジャンの才能が見つけ出される物語だけでも十分奇跡と呼ぶにふさわしい偶然の連鎖でした。しかしハーディとともに行ったラマヌジャンの研究成果は、さらに驚異的なものでした。

続きます
>>インドの魔術師 2
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前回の記事
>>インドの魔術師

いくつもの幸運が重なった結果、ラマヌジャンの才能は世界に発見されました。彼はイギリスに招かれ、ハーディの下でともに研究を行うことになったのです。

ラマヌジャンの研究は非常に独特なものでした。
彼の生涯における研究成果は、渡英後に書いた論文40本、インドで生活していた時に思いついた数式を書き留めているノート3冊、そして帰国後に紛失したいわゆる「失われたノート」という膨大な量になります。
しかしラマヌジャンは大学での体系的な数学の教育を受けていなかったこともあり、彼は「思いついた数式を証明する」という概念を持ち合わせていなかったのです。

後にハーディが述懐しているところによると、
「彼は毎朝半ダースほどの新しい定理を私のところに持ってきた。彼は自分でそれを証明するということは全く考えていないので、私が替わりにそれらを証明するという形で私達の『研究』は続けられた」

どうやらラマヌジャンの頭の中には次々と完全に新しい定理が湧いてくるようで、彼自身は独自の理由付けをして自分なりに納得していたようです。
彼が生涯に導き出した公式の数は3000以上。その多くがしっかりとした証明のなされないままだったため、ラマヌジャンの業績は長い間評価されないままでした。

ある時、彼の友人がその発想はどこから来るのか尋ねました。するとラマヌジャンは「全ては寝ている間にナマギーリ女神が教えてくれることだ」と答えたそうです。

再びアインシュタイン氏との比較なのですが、
「アインシュタインが相対性理論にたどり着けたのは、科学の発展という流れの中で必然的に起こることとして位置づけることができる。しかしラマヌジャンの場合、どこからその発想が出てきたのか全く見当も付かない」

まさに孤高の天才。他とは完全に隔絶した時間・場所にラマヌジャンの才能は出現したのです。才能を見出される過程といい、その発想といい、まさに神がかりです。

彼は無限に続く和の形をとる数式、無限級数を得意としていました。
複雑な式を美しい整った公式に導くことに長けていたのです。
彼がハーディに送った手紙の中にも、
「1+2+3+4+…=-1/12」
という式が見られます。
「無限に続く自然数の和がマイナスになる」というのは完全に矛盾しているようにも思えます。しかしこれは数学の巨人・オイラーがゼータ関数という特殊な関数を使って導き出したものと同じでした。若き日のラマヌジャンはここまで独力でたどり着いていたのです。
参照:>>大きすぎて絶対に書き表せない数

そんな彼が最後に取り組み、また最大の業績の1つとされているのが擬テータ関数に関する研究です。

続きます
>>インドの魔術師 3
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