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以前話題になったGoogleの面接試験問題の中に、誕生日問題として知られるパラドックスとよく似た問題があります。

■原題
「あなたは友人たちとパーティをしており、あなたを含めて10人いる。友人の一人が賭けを提案してきた。『この中で君と同じ誕生日の人がいたら君に1ドルあげよう。同じ誕生日の人がいない時は私が1ドルもらおう』。あなたはこの賭を受け入れるか?」

答え:
1)ある人が自分と違う誕生日の確率:364/365=0.997
2)自分以外の9人全員が違う誕生日の確率:0.9979=0.976
3)賭けの期待値は、1×(1-0.976)-2×0.976=-1.928<0
より、賭けは受けないほうがいいとわかります。

口頭試問とはいえ、余りにも簡単すぎます(計算ではなく考え方そのものが)。
ちょっと趣向を変えてみましょう。

誕生日のパラドックス問題
「あなたは友人達とパーティーをしている。友人の一人が賭けを提案してきた。『この中で少なくとも一組同じ誕生日のペアがいる場合、君に1ドルあげよう。いなければ私が1ドルもらう』あなたがこの賭けを受け入れるべきなのは、パーティーに何人以上いる場合だろうか?」

直感として浮かんでくる数字はいくつでしたか?
考え方としては元の問題によく似ています。

答え:
全員の誕生日が異なる確率を考えます。すると1人目の誕生日は365通り、2人目は1人目とは違う誕生日なので364通り、3人目は363通り....式で表すと、
p=365/365×364/365×363/365…{365-(n-1)}/365
 =365!/365n(365-n)!
ここで、あなたが賭けに乗るべきなのは勝つ確率が50%以上の時です。
p<0.5になる最小の数を求めると23だとわかります。

つまり、23人集まれば50%以上の確率で同じ誕生日の人がいることになります。
これが誕生日の「パラドックス」と呼ばれる所以です。
直感と実際の確率にズレがあるのです。

続きます
>>誕生日のパラドックス 2
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前回の記事 誕生日のパラドックス

例として、学校のクラスの中で同じ誕生日のペアがいる確率を考えてみます。

直感ではどれぐらいですか?
2、3クラスに1組いたらいいほう、ではないでしょうか。

私の高校時代、クラスの人数は40人ぐらいだったと思います。
再び余事象の考え方(誕生日が同じ人がいる確率=1-同じ人がいない確率)を使ってみましょう。

最初の人は365通り、どの日でもOKです。
次の人は最初の人と違う誕生日なので、364通り。
3番目の人は1番目、2番目とは違う日なので、363通り。
これを40人分考えると、
365/365×364/365×…×326/365≒0.11
∴1-0.11=0.89

40人のクラスの中で同じ誕生日の組がいる確率は89%
― 計算上1クラスに1組ずつくらいは同じ誕生日の人がいることになります。

生まれる人数の多い月や双子、うるう年などは考えていませんが、計算ではこのような結果になります。一般的な直感とはかなり離れているのではないでしょうか。
論理的な矛盾は含んでいないので、厳密な意味ではパラドックスとは違うかもしれません。しかし、「理論的な結果と一般の感覚にズレがある」ということで「パラドックス」と呼ばれています。

実際の確率と直感の差を突いてくるところはモンティ・ホール問題に似ています。
参照:モンティ・ホール問題
     三人の殺し屋問題

追記:原題のように、「あなたと同じ誕生日の人がいたら~」という問題だった場合、その場に253人以上いなければ賭けには乗らないほうがいいでしょう。
∵1-(364/365)n>0.5 これを満たす最小のnは253
1学年に1人いるかどうかってところです。
こっちは直感とあってるのが不思議なところです。

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関連項目:
>>抜き打ちテストのパラドックス
>>シュレディンガーの猫
>>シチュエーションパズル
>>テセウスの船
>>封筒のパラドックス
>>ベイズの定理
>>1秒
>>経済学的思考
>>大きすぎて絶対に書き表せない数
>>自己成就予言
>>社会的怠業
>>ヘンペルのカラス
>>バター猫のパラドックス
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