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変な証明を2つ用意しました。
これらは正しい証明でしょうか。
おもしろいと思った方は是非他のパズルにもチャレンジしてみてください。

1=2の証明

a=bとおく
両辺にaをかけると   a2=ab
両辺からb2を引くと   a2-b2=ab-b2
因数分解すると    (a+b)(a-b)=b(a-b)
両辺を(a-b)で割ると  a+b=b
a=bより  b+b=b⇒2b=b

∴2=1

答え:「『両辺を(a-b)で割る』のがインチキです。a=b⇒a-b=0。0で割るのはルール違反になります。『3×0=2×0⇒両辺を0で割る⇒3=2』とするのはアウトです。単純な数字ならわかる問題でも、抽象的な概念に置き換えられると引っかかってしまうことがあります

1=0.9999.....の証明

0.9999....=3×0.3333....
ここで  0.3333....=1/3  なので、
0.9999....=3×0.3333....=3×1/3=1

∴0.9999....=1

答え:「正しい証明です。非直感的ですが、循環小数0.9999....は1と完全に等しい実数を指すものです

無限小数=1

『いくら9が無限に続いても、そこには最後の9というものがあるはずだ』『0.9999....は1よりもわずかに小さい数字だ』という一般的な感覚とはズレがあります。
代数的な証明としては、

c=0.9999....
10c=9.9999....
10c-c=9.9999....-0.9999....
9c=9
∴c=1

「少数」と「少数が表す数」を厳密に定義すれば、1と0.9999....は同じ実数を指すことがわかります。『1つの数字はただ1通りの小数で表せるはずだ』という直感的な把握とは少し違う、数字の世界です。

参照:モンティ・ホール問題
    三人の殺し屋問題
    ベイズの定理

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追記:感覚とのズレを突いてくる問題はやっぱりおもしろいです。いずれ封筒のパラドックスヘンペルのカラスも取り上げたいと思います。

関連項目:
>>テセウスの船
>>誕生日のパラドックス
>>シチュエーションパズル
>>抜き打ちテストのパラドックス
>>インドの魔術師
>>シュレディンガーの猫
>>経済学的思考
>>おもしろ自動販売機 [1] [2]
>>バター猫のパラドックス
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