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前回の記事 ベイズの定理

ベイズの定理とは、ある結果が得られた時、その結果の下での事後確率を求めるための考え方です。式で表すとこんな感じです。

事象Bが発生する確率:P(B)=事前確率
事象Aが起きた後での、事象Bの確率:P(B|A)=事後確率
とする。このときP(A) > 0 なら、

P(B|A)=P(A∩B)/P(A) ←ベイズの定理
=P(B)×P(B|A)/P(B)×P(B|A)+P(B^)×P(A|B^)

ベイズの定理は、ある前提条件の下で結果が生まれる場合、逆に結果から前提条件がどのような確率で起こっていたかを推測する方法として使われます。

簡単に表せば、
何も情報がないままの確率=P(B)=事前確率
Bが起こったのでAの起こった確率も再評価=P(A|B)=事後確率
ということになります。

三囚人問題では、「Bが処刑されると看守が言った」という事象の下で「Aが恩赦になる」という事象が発生する確率=Aが助かる確率ということになります。

計算するとこんな感じです↓
P(Aが恩赦になる|看守が「B処刑」と言う)
=(Aが恩赦になる場合に看守がB処刑と言う確率)÷{((AorCが恩赦になる場合に看守がB処刑と言う確率)+(Cが恩赦になる場合に看守がB処刑と言う確率)}
=(1/3×1/2)/(1/3×1/2)+(2/3×1/2)
=1/3

ここから、Aの助かる確率は1/3で変わらないことがわかります。情報量の差が事後確率に影響を与えない例です。
三囚人問題も式で表すと難しく見えますが、まだまだ直感的に理解できる範囲です。

次の問題は直感と実際の確率にズレが出る問題かもしれません。

感染者問題
ある疾病に罹患している割合は1000人に50人と考えられている。
しかしこの病気の感染を調べる検査は不完全なため、感染している人の80%には陽性反応がでるが、感染していない人の15%に対しても同じように陽性と診断してしまう。
いまある人が検査を受けたところ陽性反応が出た。
この人が実際に感染している確率はいくらになるだろうか。

一見すると「感染していれば80%の確率で陽性→ほとんどの場合実際に感染している」ように思います。
しかしこれは事前確率を無視した、直感的な考えです。
実際に計算してみると、たとえ陽性反応が出てもその人が本当に感染している確率は22%程度であることが判ります。

これでは検査自体に意味がないといわれても仕方がありません。
一部の訪問販売や占いなどは、事前確率に意図的に触れないままで話を進めようとします。それとどこか似ていますね。

続きます
>>ベイズの定理 3
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三人の囚人のところですが(1/3×1/2)/(1/3×1/2)+(1/3×1/2)
の計算は答え1/2になりませんか??
気になって眠れません!w
【2007/10/14 21:24】 - はま~ #SFo5/nok[ 編集]
>はま~さん
ご指摘の通り、私の間違いでした;
正しくは、

P(Aが恩赦になる|看守が「B処刑」と言う)
=(Aが恩赦になる場合に看守がB処刑と言う確率)÷{((Aが恩赦になる場合に看守がB処刑と言う確率)+(Cが恩赦になる場合に看守がB処刑と言う確率)}
=(1/3×1/2)/(1/3×1/2)+(2/3×1/2)
=1/3

分母は「Aが恩赦になる時にBが死刑になる確率+Cが恩赦になる時にBが死刑になる確率」になります。
Cが恩赦になる確率は1/3。その場合Bは必ず処刑されるので、「Aが恩赦でB死刑」の確率を1/2から引いた部分が「2/3×1/2」になります。
答えだけはあわせようとしたなんて自分でも浅ましいと思います。
ご指摘ありがとうございました。
そろそろ安心して寝られるかと思います。
【2007/11/13 11:06】 - まぁくつ #Ouk1KsT2[ 編集]
このコメントは管理者の承認待ちです
【2010/03/30 01:27】 - - #[ 編集]














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