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変な証明を2つ用意しました。
これらは正しい証明でしょうか。
おもしろいと思った方は是非他のパズルにもチャレンジしてみてください。

1=2の証明

a=bとおく
両辺にaをかけると   a2=ab
両辺からb2を引くと   a2-b2=ab-b2
因数分解すると    (a+b)(a-b)=b(a-b)
両辺を(a-b)で割ると  a+b=b
a=bより  b+b=b⇒2b=b

∴2=1

答え:「『両辺を(a-b)で割る』のがインチキです。a=b⇒a-b=0。0で割るのはルール違反になります。『3×0=2×0⇒両辺を0で割る⇒3=2』とするのはアウトです。単純な数字ならわかる問題でも、抽象的な概念に置き換えられると引っかかってしまうことがあります

1=0.9999.....の証明

0.9999....=3×0.3333....
ここで  0.3333....=1/3  なので、
0.9999....=3×0.3333....=3×1/3=1

∴0.9999....=1

答え:「正しい証明です。非直感的ですが、循環小数0.9999....は1と完全に等しい実数を指すものです

無限小数=1

『いくら9が無限に続いても、そこには最後の9というものがあるはずだ』『0.9999....は1よりもわずかに小さい数字だ』という一般的な感覚とはズレがあります。
代数的な証明としては、

c=0.9999....
10c=9.9999....
10c-c=9.9999....-0.9999....
9c=9
∴c=1

「少数」と「少数が表す数」を厳密に定義すれば、1と0.9999....は同じ実数を指すことがわかります。『1つの数字はただ1通りの小数で表せるはずだ』という直感的な把握とは少し違う、数字の世界です。

参照:モンティ・ホール問題
    三人の殺し屋問題
    ベイズの定理

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追記:感覚とのズレを突いてくる問題はやっぱりおもしろいです。いずれ封筒のパラドックスヘンペルのカラスも取り上げたいと思います。

関連項目:
>>テセウスの船
>>誕生日のパラドックス
>>シチュエーションパズル
>>抜き打ちテストのパラドックス
>>インドの魔術師
>>シュレディンガーの猫
>>経済学的思考
>>おもしろ自動販売機 [1] [2]
>>バター猫のパラドックス
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どちらの問題も定義の問題ですね^^

1つ目の問題は
ある集合Ωにおいて、四則計算が成り立つときに
  a=b⇒a-b=0
となり、もしも
 「Ωに含まれる数(すう)が0で割り切れる」
とすると、そのとき成立する事柄ですね♪
実際に有り得るかと言われれば、いわゆる一般に
良く知られる四則演算の成り立つ数上では、
とりあえずないことだけれど、代数学上ではありうる、
不思議さんな問題ですかね?

2つ目の問題は
一般的に小中高教育で採用されている
 1/3=0.999…
という、現実世界で有意義な性質の場合に、
成立する、性質ですね^^
当然のこと過ぎて、証明すべきことかどうか、
よく困惑する類(たぐい)の問題かな?


自分、数学科なんだけど、
一般的には焦点の当てられていない事柄について、
証明することがよくあります。
役に立てば、それでいい。でも、無駄があるから、
人生おもしろいと考えさせられることがこれまた良く
あります。
この二つって結構関係があって重要なことですかね?
【2008/01/02 01:57】 - つし~ま #-[ 編集]
>つし~まさん
はじめまして&コメントありがとうございます。
数学を専門にしない人間が言うこととして返信をお読みください(´・ω・`)

>ある集合Ωにおいて、四則計算が成り立つときに
> a=b⇒a-b=0となり、もしも
>「Ωに含まれる数(すう)が0で割り切れる」
>とすると、そのとき成立する事柄ですね♪

「0で割るのをOK」にしたら、ここまで一般化できるようですねv
一般的な感覚では出来ないのに、数学的にちゃんとした手順を踏むとそれが可能になってしまう(ように見える)のが、とても不思議だと思いました(*・ε・*)

経済学を学ぶ者にとって数字は経済を知るためのツールでしかないのですが、たまに垣間見る数学の奥深さには毎回感心してしまいます。純粋に面白い!と感じたことを載せているので、厳密に見ていくといろいろ正確でないところがあるかもしれません。もし見つけられた場合ご指摘いただけると幸いです(o*。_。)o
【2008/01/06 11:54】 - まぁくつ #Ouk1KsT2[ 編集]
(゜ε ゜ )?

んーっと、、
代数学でもよく非なんたら学とか言って公理系作って、
おんなじようなことやって、論文書いている人いまつ。

これはちゃんとした学問デツ。

だから楽しんで末永くやっていって下さい^^
【2008/01/06 22:02】 - つし~ま #-[ 編集]
とてもおもしろいです。

今さっきまで冬休みの宿題をしてたんですが、
なぜかこう言うのでは頭が痛くならないのに、
宿題っていう言葉だけで相当頭痛がきついんですよね。
興味と勉強は微妙に違うんですね。(少なくとも僕の中では
【2008/01/07 01:55】 - 斜陽 #99DFA69w[ 編集]
雑学大好き。
面白いですよね。
1=2の証明は間違い。
0でわることはできません。
a・0 = b・0
何でも等しくできればいいのにねーーー。
今日もスマイル
【2008/01/07 11:49】 - kawazukiyoshi #-[ 編集]
>つし~まさん
さっそくコメントで何かおかしいことを言ってしまったようで…
ズレているようなら容赦ないツッコミをお願いします(^w^;)

>斜陽さん
勉強しないといけないことと興味が同じ方向だったらなぁ…
勉強の合間の息抜き程度に楽しんでいただければ、と思います。

>kawazukiyoshiさん
はじめまして&コメントありがとうございます。
コメントを拝見して「0で割れればなんだってできるんじゃないか」という気がしてきました。

今後ともスマイルでよろしくお願いします。
【2008/01/07 15:55】 - まぁくつ #Ouk1KsT2[ 編集]
>銀四郎さん、ミッチョンさん、凪紗さん、コメントを下さったもうひと方へ

手違いでコメントを一括消去してしまいましたe-466e-330
「一括承認」「一括消去」の押しまつがいe-268…fc2の方はわかってくださるかとe-263
ほんとに申し訳ないです。自分の休みボケの酷さに唖然としています。
以下覚えている範囲で返答を。

>銀四郎さん
銀四郎さんの世界楽しみにしています!

>ミッチョンさん
あけましておめでとうございます!

>凪紗さん
よろしくお願いします!

>もうひとかた
本当にごめんなさい!
(お名前だけでも記憶できたらよかったのですが…)


「休みボケってレベルじゃねぇぞ!」と思う今日この頃。
【2008/01/10 22:30】 - まぁくつ #Ouk1KsT2[ 編集]
記事には関係ありませんが。
当ブログへのご訪問ありがとうございました。
つきましては、当ブログにリンクを設定させていただいてよろしいでしょうか?
【2008/01/10 23:47】 - センスのない中学生 #zp.b0tIQ[ 編集]
>センスのない中学生さん
同じくご訪問&コメントいただきありがとうございます。
当ブログはリンクフリーです。
どこからでも好きなように貼ってやってください。
そしてお暇ならまた覗きに来てあげてください。
【2008/01/11 00:23】 - まぁくつ #Ouk1KsT2[ 編集]
携帯や一部ブラウザでは表示されないことがあるそうなので、答えを載せておきます。

■1-2の証明:
「『両辺を(a-b)で割る』のがインチキです。a=b⇒a-b=0。0で割るのはルール違反になります。『3×0=2×0⇒両辺を0で割る⇒3=2』とするのはアウトです。単純な数字ならわかる問題でも、抽象的な概念に置き換えられると引っかかってしまうことがあります」

■0.9999....=1の証明
「正しい証明です。非直感的ですが、循環小数0.9999....は1と完全に等しい実数を指すものです」
証明は本文中に…
【2008/01/12 07:11】 - まぁくつ #Ouk1KsT2[ 編集]
0.9999...=1の証明ですが、数学科に通っていた前の彼氏さんが「面白いこと教えてあげる」って説明してくれたことがあります。
懐かしい( o´|`o)笑
【2008/01/17 06:55】 - ふう子 #-[ 編集]
>ふう子さん
お久しぶりです。
覚えていただいたとは、ありがとうございます。

>懐かしい
なんでもないことでも、特別な人と一緒だと印象深くなりますよね。
懐かしい(・∀・)
【2008/01/17 20:34】 - まぁくつ #Ouk1KsT2[ 編集]
0.9999... = 1については疑問があります。
小数は分数で表すことが出来ますが、分数を小数に表すというのは必ずしも可能なわけではありません。
実数の定義は分数で表現できる数の集合であり、その部分集合に小数があります。
循環小数というのは小数ではありません。あれはある分数の近似値と考えるべきであり、等号で結ぶことは正しくないと思われます。
【2009/06/15 18:07】 - 名無し #-[ 編集]
>名無しさん
具体的にどの点がおかしいのか指摘されていないので、直接のご返答はかないません。
記事の結論を導く根拠となっている部分に対するご指摘があれば、それに対して後日お返事させていただきたいと思います。

ただ、名無しさんのコメントでは、
(小前提)循環小数は小数ではなく、分数の近似値である
(結論)よって分数と循環小数を等号で結ぶことは正しくない
とありますが、その根拠は
(大前提)小数は分数で表わすことができる
に置かれています。
これは、名無しさんがπや2・3の平方根等も分数で表示可能とお考えだということでしょうか?
だとすれば大前提の部分に矛盾があるように感じるのですが、その点どのようにお考えでしょうか。
【2009/06/15 21:59】 - まぁくつ #Ouk1KsT2[ 編集]
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