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モンティ・ホール問題というパズルをご存知でしょうか。
モンティ・ホール氏が司会を務めるアメリカのゲームショー「Let's make a deal」に登場する初歩的な確率のゲームです。ただし主観確率と実際の確率のズレを突いてくる興味深いパズルになっています。

■問題
プレイヤーの前には3つのドアがある。
1つのドアの後ろには景品があり、他の2つのドアの後ろにはハズレを表すヤギが入っている。
司会者はそれぞれのドアの後ろに何があるのかを知っている。

プレーヤーはまず1つのドアを選ぶ。
司会者は残り2つのドアのうち片方を開け、ヤギが入っていることを示す。
ここで司会者はプレーヤーに、はじめの選択のままでいいか、もう1つの閉じているドアに変更するか尋ねる。
プレーヤーはどのような選択をするべきだろうか。

■ルール
・プレイヤーがどのドアを選んだかにかかわらず、ホストは残りのドアのうちひとつを必ず開ける
・司会者は景品のあるドアを知っていて、必ずヤギの入っているドアを開ける。残りが両方ともヤギだった場合は、ランダムにどちらかを開ける

あなたなら自分が最初に決めた選択を信じますか?
それとも開けるドアを変更しますか?




↓↓この問題の考え方↓↓




「景品が入っている確率は1/3で変わらないから、ドアを変えても変えなくても同じ」
そう思う方が多いのではないでしょうか。
しかし、模範的な回答は「開けるドアを変更する」になります。
以下その理由を見ていきたいと思います。

まず最初の状態を考えて見ましょう。
それぞれのドアに景品が入っている確率は1/3です。
あなたが最初にあたりを選んでいる確率も1/3になります。
つまり残り2つのドアのどちらかに景品がある確率は2/3です。

次に、司会者が残り2つのドアのうち片方を開けた状態を考えます。司会者は必ずハズレを選ぶので、開けたドアにはヤギが入っています。

この状態だけを見れば、残り2つのドアのいずれかに景品が入っていることになるので、確率は五分五分のように思われます。

しかし、これが直感と実際の確率とのずれになります。

最初に選んだドアがあたりの確率は1/3です。
一方、残り2つのいずれかがあたる確率は2/3です。

いま、司会者が残り2つのうち片方はハズレであることを教えてくれました。この時点で、あなたが最初の選択であたりを選んでいる確率は1/3で変わりませんが、残ったもう1つに景品が入っている確率は2/3だとわかります。

つまり開けるドアの選択を変更したほうが、景品をもらえる確率は2倍になることになります。

直感的にわかりやすいよう、ドアが100個ある場合を考えましょう。
あなたはまず1つのドアを選びます。当たる確率は1/100です。
モンティ氏は残った99個のうち、ヤギが入った98個のドアを開けて見せました。
あなたが最初に選んだドアと、残ったもう1つのドア。
どちらにより豪華景品が入ってそうですか?
1/100と99/100の確率で、あなたが最初に選んだドアでないほうがあたりっぽいですね。

納得しがたいという方。
↓可愛いネコちゃんがゲーム式にわかりやすく解説してくれています。
「DOFI-BLOG ネコでもわかるモンティ・ホールジレンマ」
⇒ http://ishi.blog2.fc2.com/blog-entry-182.html
できるだけわかっていない風に答えを選んでいくと、より詳しい解説をしてくれます。非常にオススメです。

最初から3つのドアのうち1つが開いた状態で、残り2つのドアから1つを選ぶという問題なら、確率は1/2=五分五分になります。しかしドアが2択になる経緯を知ってるかどうか=情報量の差で、どちらのドアがよりアタリらしいか評価することが出来るようになります。

似たようなものに三囚人問題、三人の殺し屋問題などがあります。
参照:>>三人の殺し屋問題
     >>ベイズの定理

追記:この問題が紹介されたとき、多くの人が「これはおかしい!」と投書したそうです。その中には多くの数学者もいたとか。やはり自分の感覚とズレた問題なので、言葉で説明されても納得しがたいものがあります。

追記:この問題を解く鍵である事前事後確率論は物理学者のラプラスさんが体系化したものです。
参照:>>ラプラスの悪魔

↓直感と確率のズレを感じたら↓
e_02.gif 

関連項目:
>>経済学的思考
>>世界最大のクロスワード
>>ゾウを冷蔵庫に入れる方法
>>自己認識
>>心の理論
>>共感覚
>>プチプチをつぶす心理
>>インドの魔術師
>>抜き打ちテストのパラドックス
>>1=2の証明
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これはややこしいですね。確率だけで考えると『ナルホド~』なんですが、こんな時は6番目の感覚も考慮に入れてしまいます(⌒ω⌒)
そうかと言って直感はニブい方なんで、やはり確率に走ってしまいますが。(めずらしく、確率の話理解できましたよ~)
【2007/06/04 21:50】 - ミッチョン #-[ 編集]
いやー、最初わかんなかったけど100個のドアで理解しました。
どうなんだろ、ハリーは変えないかも?笑
【2007/06/05 22:29】 - ハリー #-[ 編集]
>ミッチョンさん
言葉で説明するの難しかったのですよ~e-249まずは自分がしっかり理解してないといけないので。
本当はもっと数学的に説明する方法があったのですが、誰も読みたくないだろうと思って言葉での説明にこだわりましたe-267

>Howardさん
情報量基準(Information Criterion)でしょうか。計量は専門でないのですが、これからの経済学には絶対に必要な分野になってくるそうです。歴史分析とちがって、このごろ理論のほうは完全に数学化してる気がしますe-330

>ハリーさん
確率の問題もありますが、司会者との心理戦を楽しむ問題でもあるそうです。モンティさんはみのもんたみたいな雰囲気のある人じゃないかなぁ、と勝手に想像しています。
駆け引きによって意外なところから答えがわかったりするのではないでしょうかe-281e-267
なので自分の直感を信じる!!もありかと思います。
【2007/06/06 15:53】 - まぁくつ #Ouk1KsT2[ 編集]
100個の扉の例えで納得しました。
自分が無作為に選んだ1/100より、正解を知る者が選んだ1/99の方が信憑性がありますものね。
【2008/12/23 08:16】 - KAZ #-[ 編集]
>KAZさん
実例の力は偉大なのです。
【2009/02/04 17:24】 - まぁくつ #Ouk1KsT2[ 編集]
司会者がドアを開けた時点でもはや確率はどちらも1/2です。司会者がひとつドアを開けるたびに自分が選んだドアが正解である確率も上がるのです。

「残りが両方ともヤギだった場合は、ランダムにどちらかを開ける」の項目がある限り同じです。
【2009/08/16 17:28】 - VIPPERな名無しさん #-[ 編集]
>VIPPERな名無しさん

司会者の行動で確立が上がるでしょうか?
少なくとも3つのドアから1つを選んだ時点では、
正解である確立は1/3のはずです。

初めに選んだドアを変更しない場合、
司会者がいない状態では1/3なのに、
司会者が外れのドアを開くだけで1/2になるでしょうか?

この問題、実際に統計をとるとどうなるのでしょうか?
【2009/11/25 21:40】 - mick #-[ 編集]
このコメントは管理者の承認待ちです
【2009/12/15 13:04】 - - #[ 編集]














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